Что значит отношение степеней

Степень, ее свойства, возведение в степень


После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.


Свойства степеней с натуральными показателями

По определению степени с натуральным показателем степень an представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a. Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел, можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем:

  1. основное свойство степени am·an=am+n, его обобщение an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk;
  2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями am:an=am−n;
  3. свойство степени произведения (a·b)n=an·bn, его расширение (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn;
  4. свойство частного в натуральной степени (a:b)n=an:bn;
  5. возведение степени в степень (am)n=am·n, его обобщение (((an1)n2)…)nk=an1·n2·…·nk;
  6. сравнение степени с нулем:
    • если a>0, то an>0 для любого натурального n;
    • если a=0, то an=0;
    • если a<0 и показатель степени является четным числом 2·m, то a2·m>0, если a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1, то a2·m−1<0;
  7. если a и b – положительные числа и a<b, то для любого натурального n справедливо неравенство an<bn;
  8. если m и n такие натуральные числа, что m>n, то при 0<a<1 выполняется неравенство am<an, а при a>0 справедливо неравенство am>an.

Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби am·an=am+n при упрощении выражений часто применяется в виде am+n=am·an.

Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

  1. Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени: для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство am·an=am+n.

    Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида am·an можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n, то есть, am+n. На этом доказательство завершено.

    Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3, по основному свойству степени можно записать равенство 22·23=22+3=25. Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 22·23 и 25. Выполняя возведение в степень, имеем 22·23=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 25=2·2·2·2·2=32, так как получаются равные значения, то равенство 22·23=25 - верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

    Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n1, n2, …, nk справедливо равенство an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

    Например, (2,1)3·(2,1)3·(2,1)4·(2,1)7= (2,1)3+3+4+7=(2,1)17.

  2. Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями: для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n, удовлетворяющих условию m>n, справедливо равенство am:an=am−n.

    Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0n=0, а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени am−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n), либо отрицательным числом (что происходит при m<n), а мы ведем разговор про свойства степени с натуральным показателем.

    Доказательство. Основное свойство дроби позволяет записать равенство am−n·an=a(m−n)+n=am. Из полученного равенства am−n·an=am и из связи умножения с делением следует, что am−n является частным степеней am и an. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

    Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2, рассмотренному свойству степени отвечает равенство π5:π2=π5−3=π3.

  3. Теперь рассмотрим свойство степени произведения: натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней an и bn, то есть, (a·b)n=an·bn.

    Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно an·bn.

    Приведем пример: .

    Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn.

    Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

  4. Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени: частное действительных чисел a и b, b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней an и bn, то есть, (a:b)n=an:bn.

    Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b)n·bn=((a:b)·b)n=an, а из равенства (a:b)n·bn=an следует, что (a:b)n является частным от деления an на bn.

    Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

  5. Теперь озвучим свойство возведения степени в степень: для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень am в степени n равна степени числа a с показателем m·n, то есть, (am)n=am·n.

    Например, (52)3=52·3=56.

    Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

    Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

  6. Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

    Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

    Для начала обоснуем, что an>0 при любом a>0.

    Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a. Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень an есть положительное число. В силу доказанного свойства 35>0, (0,00201)2>0 и .

    Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень an есть нуль. Действительно, 0n=0·0·…·0=0. К примеру, 03=0 и 0762=0.

    Переходим к отрицательным основаниям степени.

    Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m - натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a, значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a2·m. Приведем примеры: (−6)4>0, (−2,2)12>0 и .

    Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1, то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5)3<0, (−0,003)17<0 и .

  7. Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: из двух степеней с одинаковыми натуральными показателями n меньше та, основание которой меньше, а больше та, основание которой больше. Докажем его.

    Неравенство an<bn представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств a<b, следовательно, в силу свойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида an<bn. Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 37<(2,2)7 и .

  8. Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

    Докажем, что при m>n и 0<a<1 выполняется неравенство am<an. Для этого запишем разность am−an и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения an за скобки примет вид an·(am−n−1). Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа an и отрицательного числа am−n−1 (an положительна как натуральная степень положительного числа, а разность am−n−1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n, откуда следует, что при 0<a<1 степень am−n меньше единицы). Следовательно, am−an<0 и am<an, что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

    Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо am>an. Разность am−an после вынесения an за скобки принимает вид an·(am−n−1). Это произведение положительно, так как при a>1 степень an есть положительное число, и разность am−n−1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень am−n больше единицы. Следовательно, am−an>0 и am>an, что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 37>32.

К началу страницы

Свойства степеней с целыми показателями


Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым что значит отношение степеней показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b, а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями:

  1. am·an=am+n;
  2. am:an=am−n;
  3. (a·b)n=an·bn;
  4. (a:b)n=an:bn;
  5. (am)n=am·n;
  6. если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем a<b, то an<bn и a−n>b−n;
  7. если m и n – целые числа, причем m>n, то при 0<a<1 справедливо неравенство am<an, а при a>1 выполняется неравенство am>an.

При a=0 степени am и an имеют смысл лишь когда и m, и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0, а числа m и n – целые положительные.

Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (ap)q=ap·q, (a−p)q=a(−p)·q, (ap)−q=ap·(−q) и (a−p)−q=a(−p)·(−q). Сделаем это.

Для положительных p и q равенство (ap)q=ap·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0, то имеем (a0)q=1q=1 и a0·q=a0=1, откуда (a0)q=a0·q. Аналогично, если q=0, то (ap)0=1 и ap·0=a0=1, откуда (ap)0=ap·0. Если же и p=0 и q=0, то (a0)0=10=1 и a0·0=a0=1, откуда (a0)0=a0·0.

Теперь докажем, что (a−p)q=a(−p)·q. По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1p=1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a−(p·q), которую в силу правил умножения можно записать как a(−p)·q.

Аналогично .

И .

По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a−n>b−n, которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b, для которых выполняется условие a<b. Доказываемое неравенство по определению степени с целым отрицательным показателем можно переписать как . Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию a<b, то по свойству степени с натуральным показателем an<bn, следовательно, bn−an>0. Произведение an·bn тоже положительно как произведение положительных чисел an и bn. Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел bn−an и an·bn. Следовательно, откуда a−n>b−n, что и требовалось доказать.

Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

К началу страницы

Свойства степеней с рациональными показателями

Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

  1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0, а если и , то при a≥0;
  2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0;
  3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0, а если и , то при a≥0 и (или) b≥0;
  4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0, а если , то при a≥0 и b>0;
  5. свойство степени в степени при a>0, а если и , то при a≥0;
  6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство ap<bp, а при p<0 – неравенство ap>bp;
  7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq.

Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство ap<bp, а при p<0 – неравенство ap>bp. Запишем рациональное число p как m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p<0 и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m<0 и m>0 соответственно. При m>0 и a<b по свойству степени с целым положительным показателем должно выполняться неравенство am<bm. Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, ap<bp.

Аналогично, при m<0 имеем am>bm, откуда , то есть, и ap>bp.

Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq. Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q, пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m1 и m2 – целые числа, а n - натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0<a<1 должно быть справедливо неравенство am1<am2, а при a>1 – неравенство am1>am2. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq.

К началу страницы

Свойства степеней с иррациональными показателями

Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0, b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями:

  1. ap·aq=ap+q;
  2. ap:aq=ap−q;
  3. (a·b)p=ap·bp;
  4. (a:b)p=ap:bp;
  5. (ap)q=ap·q;
  6. для любых положительных чисел a и b, a<b и иррациональном p при p>0 справедливо неравенство ap<bp, а при p<0 – неравенство ap>bp;
  7. для иррациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq.

Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.


Некогда разбираться?

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
  • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: отношение учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
  • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
  • Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы


Источник: http://www.cleverstudents.ru/powers/properties_of_powers.html



Закрыть ... [X]


Корни и степени и их свойства. Корень n-ой степени. Степень в корне Как умываться после ламинирования ресниц

Что значит отношение степеней Вся элементарная математика - Учебное пособие - Алгебра - Степени
Что значит отношение степеней Значение отрицательной степени Науколандия
Что значит отношение степеней Что такое степень, что значит степень
Что значит отношение степеней Степень - это. значение слова Степень
Что значит отношение степеней СТЕПЕНЬ Толковый словарь Ушакова
Что значит отношение степеней Формулы степеней и их свойства
Что значит отношение степеней Что такое степень Алгебра
Что значит отношение степеней Свойства степеней
2.2. Обязанности родителей по содержанию Аллергия. Общие вопросы За и против: свадебные прически с распущенными волосами Интернет-магазин Glamour-Cosmetics - всё, что ты хотела для Какие стрижки идут женщинам с круглым лицом? Модные стрижки без Крем-маски Кора Маникюрные столы купить в Харькове в интернет-магазине. Низкие цены Полезная статья о том, что делать, если вам вырвали зуб